Bölme ve Bölünebilme (Lise Matematik)

(Okunma sayısı 32 defa)
CeeMoo

CeeMoo



1. Bölme


A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,



......

bölme işleminde,



• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.



• A = B . C + K dır.



• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)



• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda K ile A değişmez.



• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.







2. Bölünebilme Kuralları



a. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.





b. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.



Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.





c. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.



• ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.





d. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.





e. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,



k ÎZ olmak üzere,

...(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k olmalıdır.



Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının ...(...a5a4a3a2a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan

...(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ...

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.





f. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.



3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.



Örn: Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının (...abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.





g. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.





h. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.





j. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için



....



(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k

ve k ÎZ olmalıdır.



Örn: (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan



(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.





Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.

• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.





3. Bölen Kalan İlişkisi



A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,



A nın C ile bölümünden kalan K1 ve



B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.



Buna göre,

• A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.



• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.



• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.



• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.



Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.







4. Çarpanlar İle Bölüm



Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.



Örn: 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.



Örn: 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.







5. Bir Tam Sayının Tam Bölenleri

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.



a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,





k[/b] olsun.



• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.



• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

....(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.



• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.



• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

....2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.



• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.



• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:

.......



• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.



• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

....– (a + b + c) dir.



• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

.....



• A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

 

Merhaba Ziyaretçi

*

Haberler

Lütfen sitemizde hakaret ve küfür içeren paylaşımlarda bulunmayınız.

  • Toplam İleti: 6590
  • Toplam Konu: 5844
  • Toplam Üye: 23
  • Son Üye: curkam
  • Bugün En Çok Çevrimiçi: 446

En son gönderilen iletileri göster
[Daha fazla istatistik]

Çevrimiçi Üyeler

  • 395 Ziyaretçi
  • 1 Üye
  • (34 Örümcek)

Son 1440 dakika içinde aktif olan üyeler: snrj, Yandex (29), Google (3), Baidu (2)

Bugün En Çok Çevrimiçi: 446
En Çok Çevrimiçi: 738 (03 Mar 2019 18:46)